Вопрос #11898
прописка

Можете, прописка по одному адресу не обязательна.

ребёнок прописывается с одним из родителей

На получение пособия на ребенка в возрасте до 1,5 лет, прописка не влияет. Вы можете быть прописаны в одном месте, ребенок с отцом в другом.

Согласно подп. "о" п.54. Приказа Министерства здравоохранения и социального развития РФ от 23 декабря 2009 г. N 1012н
"Об утверждении Порядка и условий назначения и выплаты государственных пособий гражданам, имеющим детей"
Для назначения и выплаты ежемесячного пособия по уходу за ребенком представляются, помимо прочего,
о) документ, подтверждающий совместное проживание на территории Российской Федерации ребенка с одним из родителей либо лицом, его заменяющим, осуществляющим уход за ним, выданный организацией, уполномоченной на его выдачу, - для лиц, указанных в подпунктах "д" и "е" пункта 39 настоящего Порядка.

Подпункт "е" п.39 к Вам точно отношения не имеет, поскольку касается других родственников..... а вот проверить относимость к Вам подпункта "д" п.39 не помешало бы. Звучит он так:
д) матери либо отцы, опекуны, фактически осуществляющие уход за ребенком и не подлежащие обязательному социальному страхованию на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством (в том числе обучающиеся по очной форме обучения в образовательных организациях);

Если это не Ваш случай, то совместное проживание справкой с места жительства подтверждать не требуется, а соответственно и ребенок может быть прописан у любого из родителей..... в этом случае важнее будет другое - доказать документально, что второй родитель не является получателем такого же пособия по уходу за ребенком.

Регистрация по месту жительства одного из родителей возможна, на получение пособия не влияет.

Не переживайте, вместе не обязательно.

Смотря кто будет выплачивать Вам это пособие.
Если заключен договор с ФСС обязательного или добровольного социального страхования на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством , то регистрация ребенка на назначение и выплату пособия не повлияет. ребенок может быть зарегистрирован по месту жительства одного из родителей.
В случае же, если вы официально не работали, являетесь студенткой или относитесь к числу "самозанятых" и при этом не заключали с ФСС договор добровольного социального страхования, то выплата пособия Вам будет осуществляться органами соцзащиты по месту жительства. В этом случае, в числе прочих документов, у Вас попросят справку с места жительства в подтверждение факта совместного проживания ребенка и получателя пособий. Правовые основания для требования для требования такой справки указаны коллегой выше.